Klassifikation der Flächen

Der Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie sagt aus, in welche Klassen zusammenhängende 2-Mannigfaltigkeiten (auch Flächen genannt) eingeteilt werden können. Zusätzlich gibt er auch an, wie man Repräsentanten dieser Klassen erzeugt und wie man nachprüft, ob zwei 2-Mannigfaltigkeiten derselben Klasse angehören. Der Klassifikationssatz selbst lautet:

Jede geschlossene zusammenhängende Fläche ist homöomorph zu genau einem der drei folgenden Räume:

• einer 2-Sphäre,
• einer zusammenhängenden Summe von Tori,
• einer zusammenhängenden Summe von projektiven Ebenen.

Die ersten beiden Räume geben die Möglichkeiten für orientierbare Flächen an. Man kann sie sich als Kugeln mit angeklebten Henkeln vorstellen. Nichtorientierbare Flächen werden durch die dritte Klasse abgedeckt.

Eine Abwandlung dieses Satzes, bei der die Euler-Charakteristik verwendet wird, lautet:

Zwei kompakte Flächen sind genau dann homöomorph, wenn sie dieselbe Euler-Charakteristik besitzen und beide orientierbar oder beide nicht orientierbar sind.

Zur Klassifikation einer Fläche muss man demnach nur deren Euler-Charakteristik berechnen und ermitteln, ob sie orientierbar oder nicht orientierbar ist.