Kontaktgeometrie
Das mathematische Gebiet der Kontaktgeometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das sich mit bestimmten geometrischen Strukturen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten befasst, nämlich mit vollständig nicht-integrierbaren Feldern von Hyperebenen im Tangentialbündel, sogenannten Kontaktstrukturen. Die derart beschriebene geometrische Idee ist recht einfach: Für jeden Punkt der Mannigfaltigkeit wird eine Ebene ausgewählt, wobei eine Zusatzbedingung den Spezialfall ausschließt, dass die Ebenen in Schichten liegen, wie sie im zweiten Bild dargestellt sind.
Ihren Ursprung hat die Kontaktgeometrie unter anderem in der geometrischen Optik und der Thermodynamik. Der norwegische Mathematiker Sophus Lie hat Ende des 19. Jahrhunderts ausführlich sogenannte Berührungstransformationen beschrieben, unter anderem, um Differentialgleichungen und Methoden wie die Legendre-Transformation und die kanonische Transformation der klassischen Mechanik zu studieren. Berührungstransformationen waren für das Gebiet namensgebend; in heutiger Sprache sind sie Abbildungen, welche Kontaktstrukturen erhalten, und heißen Kontaktomorphismen.
Heute werden Kontaktstrukturen wegen ihrer vielfältigen topologischen Eigenschaften und ihrer zahlreichen Verbindungen mit anderen Gebieten der Mathematik und Physik studiert, wie der symplektischen und der komplexen Geometrie, der Theorie der Blätterungen von Kodimension , dynamischen Systemen und der Knotentheorie. Besonders eng ist die Beziehung zur symplektischen Geometrie, denn in vielerlei Hinsicht sind Kontaktstrukturen, die in ungeraden Dimensionen existieren, Gegenstücke zu den symplektischen Strukturen in gerader Dimension.
