Laguerre-Ebene

Eine Laguerre-Ebene, benannt nach Edmond Laguerre, ist im klassischen Fall eine Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen die Geometrie der durch eine Gleichung der Form ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ gegebenen Kurven, das sind Geraden und Parabeln, in der reellen Anschauungsebene beschreibt. Punkte mit denselben x-Koordinaten haben keine Verbindung, man nennt sie deshalb parallel.

Offensichtlich gilt: 3 nicht parallele Punkte haben genau eine Verbindungskurve (Gerade oder Parabel). Zwei solcher Kurven schneiden sich in höchstens 2 Punkten und können sich in einer gemeinsamen Tangente berühren. Allerdings gibt es auch Parabeln, die sich in nur einem Punkt schneiden aber nicht berühren: Beispielsweise schneiden sich ${\displaystyle p_{1}:y=x^{2}}$ und ${\displaystyle p_{2}:y=(x-2)^{2}}$ nur im Punkt (1,1) und haben dort keine gemeinsame Tangente (s. Bild). Um solche Fälle von der Berührrelation auszuschließen, wird jeder Kurve ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ der Fernpunkt ${\displaystyle (\infty ,a)}$ hinzugefügt. Diese Kurven werden Zykel genannt. Die so ergänzten Kurven ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ haben jetzt den weiteren Schnittpunkt ${\displaystyle (\infty ,1)}$. Für dieses erweiterte System von Punkten und Zykeln gelten die folgenden Aussagen (vgl. Möbius-Ebene):

• (B1): Zu je 3 paarweise nicht parallelen Punkten ${\displaystyle A,B,C}$ gibt es genau einen Zykel ${\displaystyle z}$, der ${\displaystyle A,B,C}$ enthält.
• (B2): Zu jedem Punkt ${\displaystyle A}$ und jedem Zykel ${\displaystyle z}$ gibt es genau einen Punkt ${\displaystyle B}$ auf ${\displaystyle z}$, der zu ${\displaystyle A}$ parallel ist (s. Bild).
• (B3): (Berührrelation) Zu jedem Zykel ${\displaystyle z}$, jedem Punkt ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle z}$ und jedem Punkt ${\displaystyle Q}$ nicht auf ${\displaystyle z}$, der nicht parallel zu ${\displaystyle P}$ ist, gibt es genau einen Zykel ${\displaystyle z^{\prime }}$ durch ${\displaystyle P,Q}$, der ${\displaystyle z}$ in ${\displaystyle P}$ berührt (s. Bild).

Wie bei den Möbius-Ebenen ist nicht zu erwarten, dass die hier beschriebene Geometrie der erweiterten Geraden und Parabeln die einzige Inzidenzstruktur ist, die die Eigenschaften (B1)–(B3) besitzt. Ersetzt man hier die reellen Zahlen, durch einen beliebigen Zahlkörper so bleiben (B1)–(B3) gültig (im Gegensatz zum Fall der Möbius-Ebene).

Neben dem formal inhomogenen Modell (es gibt Geraden und Parabeln) erhält man mit Hilfe der Umkehrung einer geeigneten Stereografischen Projektion der reellen Ebene auf einen Kreiszylinder ein homogenes räumliches Modell: Die Punkte der neuen Inzidenzstruktur sind die Punkte auf der Zylinderoberfläche, die Zykel sind Ellipsen/Kreise und parallele Punkte liegen auf einer Zylindergerade. Die klassische reelle Laguerre-Ebene kann also auch als die Geometrie der ebenen Schnitte (Ellipsen/Kreise) auf einem Kreiszylinder aufgefasst werden.

Eine Laguerre-Ebene ist eine der 3 Benz-Ebenen: Möbius-Ebene, Laguerre-Ebene und Minkowski-Ebene. Die klassische Möbius-Ebene ist die Geometrie der Kreise und die klassische Minkowski-Ebene die Geometrie der Hyperbeln.

Bemerkung:

1. Eine Laguerre-Ebene wurde ursprünglich als die Geometrie der gerichteten Kreise und Geraden in der reellen Ebene definiert.
2. Neben den bisher erwähnten geometrischen Beschreibungen der klassischen reellen Laguerre-Ebene gibt es noch die Darstellung über dem Ring der dualen Zahlen (analog der Beschreibung der klassischen Möbius-Ebene über den komplexen Zahlen).