Minkowski-Ebene

Eine Minkowski-Ebene, benannt nach Hermann Minkowski, ist im klassischen Fall eine Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen die Geometrie der durch eine Gleichung der Form ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,a\neq 0,\ }$ gegebenen Hyperbeln und der Geraden ${\displaystyle y=ax+b,a\neq 0\ }$ in der reellen Anschauungsebene beschreibt. Punkte mit denselben x- oder y-Koordinaten haben keine Verbindung, man nennt sie deshalb (+)-parallel bzw. (-)-parallel.

Offensichtlich gilt: Durch 3 paarweise nicht parallele Punkte geht genau eine Hyperbel. Allerdings: Eine Gerade ist schon durch 2 Punkte eindeutig bestimmt. Zwei Hyperbeln können sich in 2 Punkten schneiden oder in einem Punkt berühren (gemeinsame Tangente) oder meiden. Wie bei Möbius- und Laguerre-Ebenen erhält man einfachere geometrische Verhältnisse, wenn man die Geometrie der Hyperbeln/Geraden durch Hinzunahme von weiteren Punkten homogenisiert: Einer Hyperbel ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c}$ fügt man die zwei Punkte ${\displaystyle y=(b,\infty ),(\infty ,c)}$ und einer Gerade ${\displaystyle y=ax+b}$ den Punkt ${\displaystyle (\infty ,\infty )}$ hinzu und nennt die so erweiterten Hyperbel/Geraden Zykel (s. Bild). Die neue Inzidenzstruktur hat jetzt ähnliche Eigenschaften wie eine Möbius- oder Laguerre-Ebene (s. Abschnitt Axiome) und besitzt (auch wie Möbius- und Laguerre-Ebenen) ein räumliches Modell: Die klassische Minkowski-Ebene ist isomorph zur Geometrie der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids (s. Bild) im reellen projektiven Raum. Ein einschaliges Hyperboloid ist eine Quadrik, die Geraden und nicht ausgeartete projektive Kegelschnitte enthält.

Neben diesen geometrischen Modellen der klassischen reellen Minkowski-Ebene gibt es noch die Darstellung über dem Ring der anormal-komplexen Zahlen (analog der Beschreibung der klassischen Möbius-Ebene über den komplexen Zahlen). Eine anormal-komplexe Zahl hat (wie eine komplexe Zahl) die Form ${\displaystyle a+jb,a,b\in \mathbb {R} ,j\notin \mathbb {R} }$ aber mit ${\displaystyle j^{2}={\color {red}{+}}1}$.

Eine Minkowski-Ebene ist eine der 3 Benz-Ebenen: Möbius-Ebene, Laguerre-Ebene und Minkowski-Ebene. Die klassische Möbius-Ebene ist die Geometrie der Kreise und die klassische Laguerre-Ebene die Geometrie der Parabeln.

Der Name Minkowski-Ebene rührt von der Minkowski-Metrik her, mit der man pseudoeuklidische "Kreise" (Hyperbeln) beschreibt.