Lange Gerade

Der Begriff lange Gerade (oder Alexandroff-Gerade) bezeichnet in der Topologie einen topologischen Raum, der anschaulich einer ins Überabzählbare verlängerten Geraden entspricht. Da sie sich lokal wie die Gerade verhält, sich global aber wesentlich davon unterscheidet, dient sie in der Topologie häufig als Gegenbeispiel. Sie ist vor allem eines der beliebtesten Beispiele eines nicht parakompakten topologischen Raums. In der Definition einer Mannigfaltigkeit fordert man üblicherweise die Parakompaktheit oder die Existenz einer abzählbaren Basis (das zweite Abzählbarkeitsaxiom). Ohne diese Bedingungen kann die lange Gerade als differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne abzählbare Basis angesehen werden. Sätze wie der Einbettungssatz von Whitney gelten für solche Mannigfaltigkeiten nicht, weil Teilmengen des Euklidischen Raumes immer zweitabzählbar sind: Es gibt aber immer eine glatte Einbettung in einen unendlichdimensionalen Raum.