Parakompakter Raum

Parakompaktheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er beschreibt eine Eigenschaft topologischer Räume, welche in vielen Sätzen der Topologie eine wesentliche Rolle spielt. Der Begriff der Parakompaktheit wurde im Jahre 1944 von dem französischen Mathematiker Jean Dieudonné eingeführt.

Tatsächlich sind viele der gängigen topologischen Räume sogar parakompakte Hausdorff-Räume. Manche Autoren setzen für parakompakte Räume die Hausdorff-Eigenschaft stets mit voraus. Zu den parakompakten Hausdorff-Räumen zählen insbesondere alle metrischen Räume (Satz von Arthur Harold Stone) und alle Mannigfaltigkeiten (hier ist die Parakompaktheit Teil der üblichen Definition). Schwieriger ist es, nicht-parakompakte Räume zu finden. Ein gängiges Gegenbeispiel ist die sogenannte lange Gerade.

Parakompaktheit ist eine abgeschwächte Form der Kompaktheit; zum Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen in der üblichen Topologie parakompakt, aber nicht kompakt.