Matrix-Riccati-Gleichung

Als Matrix-Riccati-Gleichungen oder algebraische Riccati-Gleichungen wird ein Typ von nichtlinearen Gleichungen für Matrizen bezeichnet, die sich, grob gesagt, bei Dimension 1 auf eine algebraische, quadratische Gleichung zurückführen lassen. Daher kommt auch die Bezeichnung des Problems in Anlehnung an die entsprechende Riccati-Differentialgleichung. Bei allgemeinen Dimensionen ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ ist in einer recht allgemeinen Form der Matrix-Riccati-Gleichung eine Matrix ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ gesucht, welche die Gleichung

${\displaystyle XBX+XA-DX-C=0\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$

erfüllt. Die anderen, vorgegebenen Matrizen haben die dazu passenden Dimensionen ${\displaystyle C,B^{T}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$, ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{m\times m}}$. Ein Spezialfall dieser Gleichung ist ${\displaystyle X^{2}=C}$, welche als Lösungen die Quadratwurzel einer Matrix ${\displaystyle X=C^{1/2}}$ hat, wenn solche existieren.