Maximumprinzip (Mathematik)

Das Maximumprinzip ist in der Mathematik eine Eigenschaft, die von Lösungen gewisser partieller Differentialgleichungen erfüllt wird. Gilt für eine Funktion das Maximumprinzip, so lassen sich selbst bei Unkenntnis dieser Funktion weitreichende Aussagen über deren Verhalten treffen. Grob gesprochen genügt eine Funktion genau dann dem Maximumprinzip, wenn sie ihr (globales) Maximum auf dem Rand ihres Definitionsbereiches annimmt.

Das starke Maximumprinzip sagt aus, dass eine Funktion, die ihr Maximum im Innern ihres Definitionsbereiches annimmt, konstant sein muss. Das schwache Maximumprinzip sagt aus, dass das Maximum zwar auf dem Rand angenommen wird, aber weitere Maximumsstellen im Innern des Definitionsbereiches existieren können. Darüber hinaus existieren weitere, noch schwächere Maximumprinzipien. In aller Regel gelten zum Maximumprinzip analoge Aussagen auch für das Minimum einer Funktion, diese werden dann als Minimumprinzip bezeichnet.

Das Maximumprinzip kann nicht nur für reellwertige Funktionen, sondern auch für komplexwertige oder vektorwertige Funktionen definiert werden. In diesen Fällen betrachtet man das Maximum für den Betrag oder die Norm der Funktionswerte. Bekanntestes Beispiel hierfür ist die Klasse der holomorphen Funktionen.