Normalverteilung

Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist in der Stochastik ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird auch Gauß-Funktion, gaußsche Normalverteilung, gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, gaußsche Glockenkurve, gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. Sie hat die Form

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}},\quad x\in \mathbb {R} }$

Normalverteilung
Dichtefunktion Dichtefunktionen der Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;0{,}2)}$ (blau), ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;1)}$ (rot), ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;5)}$ (gelb) und ${\displaystyle {\mathcal {N}}(-2;\,0{,}5)}$ (grün)
Verteilungsfunktion Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;0{,}2)}$ (blau), ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;1)}$ (rot), ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;5)}$ (gelb) und ${\displaystyle {\mathcal {N}}(-2;\,0{,}5)}$ (grün)
Parameter	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ – Erwartungswert ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ – Varianz (${\displaystyle \mu }$ ist Lageparameter, ${\displaystyle \sigma }$ ist Skalenparameter)
Träger	${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}=\mathbb {R} }$
Dichtefunktion	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}$
Verteilungsfunktion	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right)}$ – mit Fehlerfunktion ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
Erwartungswert	${\displaystyle \mu }$
Median	${\displaystyle \mu }$
Modus	${\displaystyle \mu }$
Varianz	${\displaystyle \sigma ^{2}\,}$
Schiefe	${\displaystyle 0}$
Wölbung	${\displaystyle 3}$
Entropie	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi e\,\sigma ^{2})}$
Momenterzeugende Funktion	${\displaystyle \exp \left(\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)}$
Charakteristische Funktion	${\displaystyle \exp \left(i\mu t-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)}$
Fisher-Information	${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}}$

mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und der Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind.

In der Messtechnik wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, um die Streuung von Messwerten zu beschreiben. Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom Erwartungswert lassen sich durch die Normalverteilung in guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:

• zufällige Streuung von Messwerten,
• zufällige Abweichungen vom Sollmaß bei der Fertigung von Werkstücken,
• Beschreibung der brownschen Molekularbewegung.

Der Erwartungswert kann als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden. Die Standardabweichung gibt ihre Breite an.