Pellsche Gleichung

Als Pellsche Gleichung (nach John Pell, 1611–1685) bezeichnet man eine diophantische Gleichung der Form

${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=1}$

mit positiv ganzzahligem ${\displaystyle n}$.

Ist ${\displaystyle n}$ eine Quadratzahl, so besitzt die Gleichung offenbar nur die trivialen Lösungen ${\displaystyle (\pm 1,\ 0)}$. Andernfalls gibt es unendlich viele Lösungen, die man mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ bestimmen kann. Die verwandten Gleichungen ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=-1\,\!}$ und ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=\pm 4\;\!}$ werden oft ebenfalls Pellsche Gleichungen genannt.

Die Gleichung wird John Pell fälschlicherweise zugeschrieben. Korrekter wäre die Bezeichnung Fermatsche Gleichung.

Die Gleichung war schon Brahmagupta und Bhaskara II. bekannt. Die Lösung dieser Gleichung war als Problem von Pierre de Fermat in einem Brief an Bernard Frénicle de Bessy gestellt worden und 1657 als Problem veröffentlicht. Pell befasste sich nie mit der Lösung der Gleichung. Brouncker fand einige Lösungen (veröffentlicht im Commercium epistolicum of John Wallis 1658). Leonhard Euler stieß auf die Lösung von Brouncker in der lateinischen Ausgabe des Treatise of Algebra von John Wallis und benannte die Gleichung fälschlich nach Pell. Euler veröffentlichte zuerst 1732 über die Pell-Gleichung und fand später die Verbindung mit Kettenbrüchen (veröffentlicht 1765), die im Grunde schon hinter der Lösung von Brouncker steckt. Joseph-Louis Lagrange befasste sich nach Euler ausführlich mit der Gleichung und gab als Erster einen Beweis, dass es für jedes ${\displaystyle n}$ eine Lösung gibt, wobei Fermat möglicherweise auch einen Beweis hatte.