Kettenbruch

In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch (fortgesetzter Bruch) ein Ausdruck der Form

${\displaystyle a+{\cfrac {b}{c+{\cfrac {d}{e+{\cfrac {f}{\ddots }}}}}}\quad .}$

Ein Kettenbruch (englisch continued fraction) ist also ein gemischter Bruch der Form ${\displaystyle a+{\tfrac {b}{x}}}$, bei dem der Nenner ${\displaystyle x}$ wieder die Form eines gemischten Bruchs besitzt, wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt.

Jede reelle Zahl kann als ein Kettenbruch mit ganzen Zahlen ${\displaystyle a,b,c,d,e,f,\dotsc }$ ausgedrückt werden. Kettenbrüche können daher als Zahlensystem bezeichnet werden, wie das Dezimalsystem. Sie dienen jedoch in erster Linie nicht zum Rechnen, sondern werden dazu verwendet, Approximationsaufgaben zu lösen: So liefern sie in der Zahlentheorie Näherungen für reelle Zahlen, indem diese durch einen Bruch aus ganzen Zahlen ausgedrückt werden, und in der numerischen Mathematik approximiert man durch sie Funktionen, ähnlich wie dies auch mittels Potenzreihen erreicht wird.

Von besonderer Bedeutung sind regelmäßige Kettenbrüche, auch reguläre oder einfache Kettenbrüche genannt. Ein solch regelmäßiger (regulärer/einfacher) Kettenbruch (englisch regular/simple continued fraction) zeichnet sich dadurch aus, dass alle Zähler ${\displaystyle (b,d,f,\dotsc )}$ den Wert ${\displaystyle 1}$ haben. Ein regulärer Kettenbruch ist also durch die Folge ${\displaystyle a,c,e,\dotsc }$ bestimmt, und man schreibt ihn platzsparend als ${\displaystyle [a;c,e,\dotsc ]}$.

Daneben spielen die mit den regulären Kettenbrüchen eng verwandten negativ-regelmäßigen Kettenbrüche eine Rolle. Bei ihnen sind alle Zähler ${\displaystyle (b,d,f,\dotsc )}$ auch alle gleich, jedoch gleich ${\displaystyle -1}$ (sie werden auch Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche genannt).

Kettenbrüche spielen zudem eine große Rolle in der Zahlentheorie. So zeigte zum Beispiel Joseph Liouville 1844 mit ihrer Hilfe, dass transzendente Zahlen existieren. Außer in der Zahlentheorie kommen Kettenbrüche in der Kryptographie, algebraischen Geometrie, Topologie, Funktionentheorie, numerischen Mathematik und bei der Analyse chaotischer Systeme zur Anwendung.