Polylogarithmus

Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}$

definiert ist. Für ${\displaystyle s=1}$ geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$

In den Fällen ${\displaystyle s=2}$ und ${\displaystyle s=3}$ spricht man entsprechend von Dilogarithmus bzw. Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle |z|<1}$. Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere ${\displaystyle z}$ ausdehnen.

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist ${\displaystyle s=n}$ eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus rekursiv durch

${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{n-1}(t)}{t}}\,{\text{d}}t\quad {\mbox{für}}\quad n=1,2,3,\dotsc }$

definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von ${\displaystyle s}$ lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. ${\displaystyle \pi }$) einzeln berechnet werden.