Polytrope Zustandsänderung

In der Thermodynamik wird eine Zustandsänderung eines Systems, in der für Druck ${\displaystyle p}$ und spezifisches Volumen ${\displaystyle v}$ die Gleichung ${\displaystyle pv^{n}=\mathrm {const} }$ gilt, als polytrop bezeichnet. Der Exponent ${\displaystyle n}$ wird Polytropenexponent genannt. Bei technischen Vorgängen kann der Polytropenexponent als konstant angesehen werden. Eine Polytrope nimmt im p-v-Diagramm die Form einer Potenzfunktion mit negativer Steigung an.

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung sind:

• ${\displaystyle n=0}$ : isobar
• ${\displaystyle n=1}$ : isotherm
• ${\displaystyle n=\infty }$ : isochor
• ${\displaystyle n=\kappa ={\frac {c_{\mathrm {p} }}{c_{\mathrm {v} }}}}$ : isentrop oder auch adiabat-reversibel

Die einem Gas während dieser Zustandsänderung zugeführte Wärme ist gegeben durch:

${\displaystyle Q_{12}=m\ c_{\mathrm {v} }{\frac {n-\kappa }{n-1}}\ (T_{2}-T_{1})}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle m}$ die Masse, ${\displaystyle T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}}$ Anfangs- und Endtemperatur des Prozesses. Die Polytropie zeichnet sich durch eine feste Wärmekapazität aus, welche sich aus ${\displaystyle c_{\mathrm {p} }}$, ${\displaystyle c_{\mathrm {v} }}$ und ${\displaystyle n}$ ergibt.

Man spricht auch von polytroper Zustandsgleichung:

${\displaystyle p=K\cdot \rho ^{\gamma }}$

mit dem Druck p, der Dichte ${\displaystyle \rho }$, der Polytropenkonstante K und dem Polytropenindex m in ${\displaystyle \gamma =1+{\frac {1}{m}}}$. Sie findet zum Beispiel Anwendung in der Astrophysik (Lane-Emden-Gleichung).