Präeuklidische Ebene
Eine präeuklidische Ebene ist in der synthetischen Geometrie eine affine Ebene über einem Körper, dessen Charakteristik nicht 2 ist und auf der eine Orthogonalitätsrelation zwischen den Geraden definiert ist. Die präeuklidischen Ebenen bilden in der absoluten Geometrie genau die Klasse der „euklidischen“ Modelle für ebene Geometrien. In der absoluten Geometrie ist das Attribut „euklidisch“ als Gegensatz zu „nichteuklidisch“ zu verstehen: Unter den Metrischen Ebenen erfüllen genau die präeuklidischen Ebenen, wie sie dieser Artikel beschreibt, das euklidische Parallelenaxiom.
Eine Orthogonalitätsrelation mit den geforderten Eigenschaften ist genau dann erklärbar, wenn der Koordinatenkörper der affinen Ebene mehr als eine Quadratklasse hat. Die möglichen Orthogonalitätsrelationen können durch die Quadratklasse ihrer Orthogonalitätskonstanten klassifiziert werden. In einer präeuklidischen Ebene können senkrechte Achsenspiegelungen und Winkelhalbierende definiert werden, letztere müssen aber nicht für alle Winkel existieren. Liegt die Orthogonalitätskonstante in der Quadratklasse von −1, dann existieren in der präeuklidischen Ebene Quadrate (die geometrischen Figuren) und es kann ein kartesisches Koordinatensystem eingeführt werden. Existieren Winkelhalbierende für jedes schneidende Geradenpaar, dann wird die präeuklidische Ebene als frei bewegliche Ebene bezeichnet.
Jede frei bewegliche Ebene ist eine präeuklidische Ebene mit Quadraten, jede euklidische Ebene im Sinne der synthetischen Geometrie ist eine frei bewegliche Ebene.
Eine präeuklidische Ebene wird in der Literatur auch als verallgemeinerte euklidische Ebene bezeichnet.
Der vorliegende Artikel nennt die Axiome, durch die eine Orthogonalitätsrelation auf einer affinen Ebene in der synthetischen Geometrie gekennzeichnet wird. Im Einzelnen werden hier aber nur Folgerungen dieser Orthogonalität für eine pappussche Ebene, die dem affinen Fano-Axiom genügt, also eine präeuklidische Ebene, näher erläutert, die mit einer Orthogonalität ausgestattet bereits viele Eigenschaften einer euklidischen Ebene teilt.