Projektive Quadrik

Eine projektive Quadrik ist in der projektiven analytischen Geometrie die Nullstellenmenge einer nichttrivialen, homogenen, quadratischen Funktion ${\displaystyle q}$ in ${\displaystyle n+1}$ Variablen ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$, die als Koordinatendarstellung einer Punktmenge in dem ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle KP^{n}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ aufgefasst wird.

Projektive Quadriken können, sofern die Charakteristik des Körpers nicht 2 ist, durch eine symmetrische Matrix dargestellt werden. Ist diese Matrix durch eine orthogonale Matrix diagonalisierbar, dann kann die Gleichung, die die Quadrik beschreibt, durch Wahl eines geeigneten projektiven Koordinatensystems auf eine Form

${\displaystyle \alpha _{0}x_{0}^{2}+\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{r}x_{r}^{2}=0,\;\alpha _{j}\neq 0}$

gebracht werden. Die Zahl ${\displaystyle 1\leq r\leq n+1}$ ist der Rang der Darstellungsmatrix, die Koeffizienten sind deren von 0 verschiedenen Eigenwerte. Dabei kann ein von 0 verschiedener Koeffizient ${\displaystyle \alpha _{j}}$ der Gleichung stets durch Wahl eines entsprechenden Koordinatensystems in einen beliebigen, zu ihm quadratisch äquivalenten Koeffizienten ${\displaystyle \beta _{j}=c^{2}\cdot \alpha _{j},c\in K^{*}=K\setminus \lbrace 0\rbrace }$ umgewandelt werden, alle Koeffizienten sind nur bis auf einen gemeinsamen Faktor ${\displaystyle t\in K^{*}}$ bestimmt. Die Reihenfolge der Koeffizienten kann durch eine geeignete Basistransformation beliebig gewählt werden.

In der synthetischen Geometrie werden Quadriken in projektiven Geometrien als Punktmengen koordinatenfrei definiert. Dies erlaubt es, solche Punktmengen auch in nichtdesarguesschen Ebenen und nichtpappusschen Räumen zu untersuchen. → Siehe dazu Quadratische Menge.