Pythagoreischer Körper
In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge von Elementen („Zahlen“), auf der die vier Grundrechenarten gemäß gewisser Regeln anwendbar sind. Dieser Körper wird als pythagoreisch bezeichnet, wenn zusätzlich jede (endliche) Summe von Quadratzahlen des Körpers immer noch eine Quadratzahl ist.
Dies ist nicht selbstverständlich: Ein aus der Schulmathematik bekannter Körper ist derjenige der Bruchzahlen. Jede beliebige Summe oder Differenz, jedes Produkt und jeder Quotient ist darin immer ermittelbar. Da keine rationale Quadratzahl ist, ist dieser Körper nicht pythagoreisch.
Pythagoreische Körper spielen eine wichtige Rolle in der synthetischen Geometrie, dort wird häufig zusätzlich gefordert, dass −1 keine Quadratzahl sein soll. Sie sind dann formal reelle pythagoreische Körper. – Bei der üblichen Auffassung, dass 0 keine Quadratzahl ist, die auch in diesem Artikel verwendet wird, ergibt sich die Zusatzeigenschaft bereits aus der Definition des pythagoreischen Körpers. Bei diesen Körpern ist stets eine Anordnung möglich. Eine präeuklidische Ebene über einem formal reellen pythagoreischen Körper, in der die Orthogonalitätskonstante zu −1 normiert werden kann, wird auch als pythagoreische Ebene bezeichnet. In solchen Ebenen können Winkelhalbierende konstruiert werden und es lässt sich ein Abstandsbegriff zwischen Punkten einführen, der auf dem Satz des Pythagoras der euklidischen Ebenen beruht. Dies ist einer der Anlässe für die Bezeichnung „pythagoreisch“.
Eine gewisse Bedeutung haben pythagoreische Körper und vor allem pythagoreische Erweiterungen für die Frage der Lösbarkeit von diophantischen Gleichungen in der elementaren Zahlentheorie.
Jeder euklidische Körper ist ein formal reeller pythagoreischer Körper. Alle diese Körper haben stets die Charakteristik 0 und enthalten immer unendlich viele Elemente.