Quantenkanal

Der Begriff Quantenkanal bezeichnet einen Übertragungskanal, der Quanteninformation oder einen quantenmechanischen Zustand übertragen kann. Eine Informationsübertragung kann mit oder ohne Quantenspeicherung erfolgen. Ein Beispiel für Quanteninformation ist der Spin eines Photons (im Wesentlichen der Polarisationszustand); damit ist zum Beispiel eine verschlüsselte oder abhörsichere Informationsübertragung (Quantenkryptographie) möglich.

In der Literatur wird der Begriff Quantenkanal für verschiedene Ausprägungen verwendet:

• Ein physikalisches System, das ein Qubit von einem Ort an einen anderen transportieren kann, also zum Beispiel eine Glasfaser, durch die Photonen versendet werden
• Die lineare Abbildung ${\displaystyle Q}$, die den Input- auf den Output-Zustand des Kanals abbildet und dabei die Eigenschaften eines realen (also nicht-idealen) Kanals berücksichtigt. Die Menge der dabei auftretenden Abbildungen (oft auch als „Quantenoperationen“ bezeichnet) enthält alle deterministischen, von der Quantenmechanik erlaubten Abbildungen (Definition s. u.) auf dem Input-Raum. Daher wird auch, unabhängig vom Bild des Übertragungskanals, jede solche Abbildung als Quantenkanal bezeichnet. Mit Ausnahme der (nicht-deterministischen) Messungen beschreiben die Quantenkanäle damit die allgemeinste von der Quantenmechanik erlaubte Zeitentwicklung und insbesondere die Zeitentwicklung offener Systeme und Prozesse wie Dekohärenz und Dissipation.
• Ein Paar maximal verschränkter Teilchen, das zum Beispiel bei der Quantenteleportation dabei hilft, einen Zustand zwischen zwei Quantensystemen zu übertragen. Dieser Quantenkanal überträgt keine Information. Es ist eine Eigenschaft der Verschränkung, dass die Information dazu in der Verschränkung selber steckt. Man kann durch Messen an der Empfangsseite keine Information gewinnen. Dieser Fall wird unten nicht weiter behandelt.

Ein Quantenkanal wird mathematisch durch einen sogenannten Super-Operator (d. h., einen Operator, der auf Operatoren wirkt) beschrieben. Dieser Super-Operator ${\displaystyle Q}$ wirkt auf den Dichteoperator ${\displaystyle \rho _{in}}$, der den Quantenzustand auf der Senderseite beschreibt, und ${\displaystyle \rho _{out}=Q(\rho _{in})}$ gibt dann den Zustand an, der auf Empfängerseite ankommt.

Ein Super-Operator ${\displaystyle Q}$, der auf ${\displaystyle {\mathcal {B(H)}}}$, den Operatoren auf dem Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, wirkt, ist genau dann ein Quantenkanal, wenn ${\displaystyle Q}$ spurerhaltendend und vollständig positiv ist, das heißt, wenn

1. ${\displaystyle \mathrm {tr} (Q(\rho ))=\mathrm {tr} (\rho )}$ für alle ${\displaystyle \rho }$ und
2. für alle positiven Operatoren ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B(H\otimes K)}}}$ gilt, dass auch ${\displaystyle (Q\otimes \mathbf {1} )(\sigma )}$ positiv ist.

Quantenkanäle sind ein zentrales Studienobjekt der Quanteninformatik. Von besonderem Interesse ist ihre Kapazität zur Datenübertragung in Verallgemeinerung zur Kanalkapazität der klassischen Shannonschen Informationstheorie. Zu den wichtigsten Kapazitäten (von denen nicht alle eine klassische Entsprechung haben) gehören die klassische Kapazität (die angibt, wie viele klassische Bits pro Kanalnutzung fehlerfrei übertragen werden können, im Limit unendlich vieler Verwendungen des Kanals), die Quantenkapazität (wie viele Qubits können im asymptotischen Fall pro Kanalnutzung fehlerfrei übertragen werden), und die Privatkapazität (wie viel geheime Bits können pro Kanalnutzung übertragen werden). Für die meisten Quantenkanäle können diese Kapazitäten derzeit nur näherungsweise berechnet werden.

Eine spezielle Form von Quantenkanal ist der Quantenspeicher. Hier geht es um Informationsübertragung in der Zeit, statt wie sonst im Raum. Der mathematische Formalismus (und auch die Fragestellungen an die Kapazität) sind aber genau dieselben.