Rational elliptische Funktionen

Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.

Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung ${\displaystyle n}$ und einen reellen Selektivfaktor ${\displaystyle \xi \geq 1}$ charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter ${\displaystyle x}$ definiert als:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}\right)}$,

wobei die Funktion ${\displaystyle \operatorname {cd} (\cdot )}$ eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion darstellt, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis. ${\displaystyle K(\cdot )}$ steht für das elliptische Integral erster Art und ${\displaystyle L_{n}(\xi )=R_{n}(\xi ,\xi )}$ stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für ${\displaystyle |x|\geq \xi }$ gleich dem kleinsten Betragswert von ${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}$ ist.