Rayleigh-Ritz-Prinzip

Das Rayleigh-Ritz-Prinzip (auch Verfahren von Ritz oder Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren) ist ein Variationsprinzip zur Bestimmung des kleinsten Eigenwerts eines Eigenwertproblems. Es geht auf das Buch The Theory of Sound von John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1877) zurück und wurde 1908 vom Mathematiker Walter Ritz als mathematisches Verfahren veröffentlicht.

Es sei ${\displaystyle H}$ ein selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich ${\displaystyle D(H)}$ in einem Hilbertraum. Dann ist das Infimum des Spektrums ${\displaystyle \sigma (H)}$ gegeben durch

${\displaystyle E_{0}=\inf \sigma (H)=\inf _{\psi \in D(H)\setminus \{0\}}{\frac {\langle \psi ,H\psi \rangle }{\langle \psi ,\psi \rangle }}}$.

Ist das Infimum ${\displaystyle E_{0}}$ ein Eigenwert, so erhält man die Ungleichung

${\displaystyle E_{0}\leq {\frac {\langle \psi ,H\psi \rangle }{\langle \psi ,\psi \rangle }}}$

mit Gleichheit genau dann, wenn ${\displaystyle \psi }$ ein Eigenvektor zu ${\displaystyle E_{0}}$ ist. Der Quotient auf der rechten Seite ist als Rayleigh-Quotient bekannt.

In der Praxis eignet es sich auch als Näherungsverfahren, indem man einen Ansatz für ${\displaystyle \psi }$ mit unbestimmten Parametern macht und die Parameter so optimiert, dass der Rayleigh-Quotient minimal wird. Statt über Vektoren im Definitionsbereich ${\displaystyle D(H)}$ kann man auch über Vektoren im quadratischen Formenbereich ${\displaystyle Q(H)}$ optimieren, was dann einer schwachen Formulierung des Eigenwertproblems entspricht.