Schalentheorie

Die Schalentheorie befasst sich mit den Eigenschaften und der Modellierung von Schalen. Schalen sind biegesteife Flächentragwerke, bei denen zwei Abmessungen gegenüber der dritten groß sind und die – in Abgrenzung zu den ebenen Flächentragwerken Scheibe und Platte – bereits unbelastet in allen drei Raumrichtungen gekrümmt sein können. Die Bilder rechts zeigen zwei typische Beispiele schalenartiger Strukturen: die hohlen Halme von Süßgräsern wie hier beim Bambus und eine Karosserie. Biegeschlaffe dünnwandige Strukturen wie Flug- oder Ballonhäute werden dagegen als Membranen bezeichnet.

Der Ursprung der Schalentheorie liegt im 19. Jahrhundert, also in einer Zeit, als es die modernen Berechnungsmöglichkeiten noch nicht gab. Heute werden Schalenmodelle vor allem für die Finite-Elemente-Methode (FEM) entworfen. Wegen der geringen Biegesteifigkeit der Schalen im Vergleich zu ihrer Dehnsteifigkeit in Dickenrichtung sind die Gleichungssysteme der FEM ohne Schalenmodelle schlecht konditioniert und können ausgedehnte, dünnwandige Strukturen nur mit Hilfe von Schalenmodellen berechnet werden. Die Effizienz der Schalenmodelle ist im Wesentlichen eine Folge der Einführung von speziellen kinematischen Annahmen für die Querschnittsverformung der Struktur, die es gestatten, das dreidimensionale Kontinuum auf ein zweidimensionales Modell zu reduzieren.

Schalen nutzen die Tragfähigkeit ihres Materials durch das Abtragen von Lasten über Membrankräfte, die über die Dicke der Schale konstant sind, optimal aus. So kommt es zur hohen Steifigkeit der Schalen bei gleichzeitig geringem Gewicht und Materialeinsatz, die ihnen in der Natur und Technik eine bedeutende Rolle verschaffen. In der Natur kommen Schalen in den Vogeleierschalen, den Außenskeletten von Gliederfüßern (Insekten, Spinnen, Krebse), Knochen (Schädel, Schulterblatt) oder Halmen von Süßgräsern vor. In der Technik finden sich Schalen in Silos oder Kuppelbauten, Karosserien oder Trägern.