Schwerpunktsatz

Der Schwerpunktsatz (auch Massemittelpunktsatz) ist ein Lehrsatz aus der Mechanik. Er besagt, dass sich der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) eines Systems von Punktmassen so bewegt, als ob die Massen aller einzelnen Massenpunkte in ihm vereinigt wären und sämtliche Kräfte, die von außen auf die Massenpunkte an ihren jeweiligen Positionen wirken, zusammengenommen nur auf ihn wirken würden. Der Schwerpunktsatz gilt insbesondere für räumlich ausgedehnte Körper, da diese aus Massenpunkten zusammengesetzt gedacht werden können.

Innere Kräfte, d. h. Kräfte zwischen den einzelnen Massenpunkten des Systems, haben dagegen keine Auswirkung auf die Bewegung des Schwerpunkts. Ist ${\displaystyle m_{s}}$ die Summe aller einzelnen Massen, und ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {ges} }^{\mathrm {ext} }}$ die Vektorsumme der von außen auf die Massenpunkte wirkenden Kraft, dann gilt für die Beschleunigung des Schwerpunktes ${\displaystyle {\vec {a}}_{s}}$ das zweite newtonsche Gesetz:

${\displaystyle m_{s}{\vec {a}}_{s}={\vec {F}}_{\mathrm {ges} }^{\mathrm {ext} }}$.

Das kann man sich so vorstellen, als ob die Gesamtmasse eines Systems im Schwerpunkt vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte gemeinsam auf ihn einwirkten, unabhängig von ihren wirklichen Angriffspunkten. Die Bewegung des Schwerpunktes wird somit weder von inneren Kräften beeinflusst noch von äußeren Kräftepaaren (die Bewegung der einzelnen Punkte schon).

Wirken gar keine äußeren Kräfte, so wird das System als (mechanisch) abgeschlossen bezeichnet. Dann ist ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {ges} }^{\mathrm {ext} }=0}$ und mit dem ersten newtonschen Gesetz folgt, dass sich der Schwerpunkt des Systems gleichförmig geradlinig bewegt, unabhängig davon, welche Kräfte die einzelnen zum System gehörenden Körper gegenseitig aufeinander ausüben. Der Schwerpunktsatz ist somit eine Verallgemeinerung des Trägheitssatzes (erstes newtonsches Axiom) auf mechanisch abgeschlossene Systeme von Punktmassen. Er ist dann äquivalent zum Impulserhaltungssatz. Der Schwerpunkt bewegt sich auch dann gleichförmig geradlinig, wenn zwar äußere Kräfte wirken, diese sich aber gegenseitig aufheben, so dass die resultierende Gesamtkraft null ist.