Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)

Die Stichprobenvarianz ist eine Schätzfunktion und messbare Abbildung in der mathematischen Statistik. Ihre zentrale Aufgabe ist es, die unbekannte Varianz einer zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung zu schätzen. Außerhalb der Schätztheorie findet sie auch als Hilfsfunktion zur Konstruktion von Konfidenzbereichen und statistischen Tests Verwendung.

Formelzeichen
${\displaystyle \mu }$	Mittelwert der Grundgesamtheit
${\displaystyle \sigma ^{2}}$	Varianz der Grundgesamtheit
${\displaystyle n}$	Anzahl der gegebenen Werte
${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$	Zufallsvariablen (Zufallsgrößen)
${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$	Stichprobe: beobachtete Werte der ${\displaystyle n}$ Zufallsvariablen
${\displaystyle {\overline {x}}}$	Stichprobenmittel / empirischer Mittelwert von ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$
${\displaystyle s^{2}}$	Stichprobenvarianz / empirische Varianz von ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$
${\displaystyle {\overline {X}}}$	Stichprobenmittel (als Funktion der Zufallsvariablen)
${\displaystyle S^{2}}$	Stichprobenvarianz (als Funktion der Zufallsvariablen)
${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$	Erwartungswert: Mittelwert, der sich aus der Verteilungsfunktion von X ergibt
${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$	Varianz (Stochastik): Varianz, die sich aus der Verteilungsfunktion von X ergibt

Die Stichprobenvarianz wird in mehreren Varianten definiert, die sich leicht bezüglich ihrer Eigenschaften und somit auch ihrer Anwendungsgebiete unterscheiden. Die Unterscheidung der unterschiedlichen Bezeichnungen für die Varianten ist in der Literatur nicht immer einheitlich. Wird daher lediglich von „der“ Stichprobenvarianz gesprochen, so sollte immer überprüft werden, welche der Definitionen im entsprechenden Kontext gilt.

Stichprobenvarianz als Schätzfunktion ist zu unterscheiden von der konkreten Berechnung der Varianz einer Stichprobe: Die empirische Varianz wird ebenfalls oft als Stichprobenvarianz bezeichnet, ist aber keine Funktion, sondern ein Streumaß von mehreren numerischen (Stichproben-)Werten. Sie entspricht einem konkreten Schätzwert und ist damit eine Realisierung der Stichprobenvarianz als Schätzfunktion und Zufallsvariable.