Teilverhältnis

Unter dem Teilverhältnis versteht man in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilstrecken einer gegebenen Strecke. Wird z. B. die Strecke ${\displaystyle \left[AB\right]}$ durch einen Punkt ${\displaystyle T}$ in zwei Teilstrecken ${\displaystyle \left[AT\right]}$ und ${\displaystyle \left[TB\right]}$ geteilt (s. erstes Beispiel), so ist die Zahl ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {|AT|}{|TB|}}}$ das zugehörige Teilverhältnis. Man könnte allerdings auch den Kehrwert, der durch Vertauschen von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ entsteht, als Teilverhältnis erklären. Beim Umgang mit Teilverhältnissen ist also unbedingt auf die Bezeichnung der Punkte zu achten.

Die große Bedeutung erhält das Teilverhältnis durch die Verallgemeinerung auf beliebige Teilpunkte ${\displaystyle T}$ auf der Geraden durch ${\displaystyle A,B}$.

Die große Bedeutung des Teilverhältnisses liegt in seiner Invarianz unter affinen Abbildungen (lineare Abbildungen und Translationen) und Parallelprojektionen. Bei projektiven Abbildungen und Zentralprojektionen bleibt das Teilverhältnis im Allgemeinen nicht invariant, aber das sogenannte Doppelverhältnis.