Doppelverhältnis

Das Doppelverhältnis ist in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilverhältnisse. Wird zum Beispiel die Strecke ${\displaystyle \left[AB\right]}$ sowohl durch einen Punkt ${\displaystyle S}$ als auch durch einen Punkt ${\displaystyle T}$ in jeweils zwei Teilstrecken ${\displaystyle \left[AS\right]}$ und ${\displaystyle \left[SB\right]}$ bzw. ${\displaystyle \left[AT\right]}$ und ${\displaystyle \left[TB\right]}$ (s. erstes Beispiel) geteilt, so ist das Verhältnis ${\displaystyle {\tfrac {|AS|}{|SB|}}:{\tfrac {|AT|}{|TB|}}}$ das (affine) Doppelverhältnis, in dem die Teilpunkte ${\displaystyle S,T}$ die gegebene Strecke ${\displaystyle \left[AB\right]}$ teilen. Die große Bedeutung erhält das Doppelverhältnis als Invariante bei Zentralprojektionen, denn das anschaulichere Teilverhältnis ist zwar invariant unter Parallelprojektionen, aber nicht unter Zentralprojektionen. Eine Verallgemeinerung führt zur Definition des Doppelverhältnisses für Punkte einer projektiven Gerade (das heißt, einer affinen Geraden, der ein Fernpunkt hinzugefügt wird).

Ein besonderer Fall liegt vor, wenn das Doppelverhältnis den Wert −1 annimmt. In diesem Fall spricht man von einer harmonischen Teilung der Strecke ${\displaystyle \left[AB\right]}$ durch das Punktepaar ${\displaystyle S,T}$ und sagt, ${\displaystyle A,B,S,T}$ liegen harmonisch.

Während man das Teilverhältnis dreier Punkte noch gut an der Lage der Punkte abschätzen kann, ist dies für das Doppelverhältnis fast unmöglich. Das Doppelverhältnis hat in der analytischen und projektiven Geometrie hauptsächlich theoretische Bedeutung (Invariante bei projektiven Kollineationen). In der Darstellenden Geometrie allerdings wird es (ohne Rechnung) zur Rekonstruktion ebener Figuren verwendet.