Totales Differential

Das totale Differential (auch vollständiges Differential) ist im Gebiet der Differentialrechnung eine alternative Bezeichnung für das Differential einer Funktion, insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen. Zu einer gegebenen total differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ bezeichnet man mit ${\displaystyle {\rm {d}}f}$ das totale Differential, zum Beispiel:

${\displaystyle {\rm {d}}f=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\rm {d}}x_{i}\,\,.}$

Hierbei ist ${\displaystyle M}$ eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oder allgemeiner eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zur Unterscheidung von totalen und partiellen Differentialen werden hier unterschiedliche Symbole benutzt: ein „nicht-kursives d“ beim totalen Differential und ein „kursives d“ (${\displaystyle \partial }$) für die partiellen Ableitungen. Zu beachten ist, dass im Folgenden immer die totale Differenzierbarkeit der Funktion vorausgesetzt wird, und nicht nur die Existenz der partiellen Ableitungen, durch die ${\displaystyle {\rm {d}}f}$ in der obigen Formel dargestellt wird.

Traditionell, und noch heute oft in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften, versteht man unter einem Differential wie ${\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} f,\dots }$ eine infinitesimale Differenz.

Dagegen versteht man in der heutigen Mathematik unter einem totalen Differential eine Differentialform (genauer: eine 1-Form). Diese kann man entweder als rein formalen Ausdruck auffassen oder als lineare Abbildung. Das Differential ${\displaystyle \mathrm {d} f(x)}$ einer Funktion ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle x}$ ist dann die lineare Abbildung (Linearform), die jedem Vektor ${\displaystyle v}$ die Richtungsableitung von ${\displaystyle f}$ am Punkt ${\displaystyle x}$ in Richtung von ${\displaystyle v}$ zuordnet. Mit dieser Bedeutung wird das (totale) Differential auch totale Ableitung genannt. Mit dieser Bedeutung lässt sich der Begriff auch auf Abbildungen mit Werten im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, in einem anderen Vektorraum oder in einer Mannigfaltigkeit verallgemeinern.