Trägheitstensor

Der Trägheitstensor ist in der Mechanik die Eigenschaft eines starren Körpers, die seine Trägheit gegenüber Änderungen seines Drehimpulses beschreibt. Sein Formelzeichen ist ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$ oder ${\displaystyle \mathbf {I} }$. Er ist ein kovarianter Tensor 2. Stufe und für ausgedehnte Körper positiv definit.

Physikalische Größe
Name	Trägheitstensor
Größenart	Trägheitsmoment
Formelzeichen	${\displaystyle \mathbf {\Theta } ,I}$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI ${\displaystyle \mathrm {kg\,\cdot \,m^{2}} }$ ${\displaystyle M\,\cdot \,L^{2}}$
Anmerkungen
Der Trägheitstensor ist ein kovarianter und positiv definiter Tensor 2. Stufe.

Mit Hilfe des Trägheitstensors lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls ${\displaystyle {\vec {L}}}$ eines Körpers und seiner Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ in vektorieller Form als Matrixprodukt des Trägheitstensors mit der Winkelgeschwindigkeit darstellen:

${\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}$

Der Wert des Trägheitstensors hängt von der Wahl seines Bezugspunkts ab. Dieser wird zur Berechnung des Trägheitstensors meist auf den Massenmittelpunkt des Körpers festgelegt. Diese Wahl erleichtert die separate Berechnung von Eigen- und Bahndrehimpuls. Mit Hilfe des Steinerschen Satzes lässt sich aus dem Trägheitstensor des Schwerpunktes der für einen beliebigen Bezugspunkt berechnen.

In der Koordinatendarstellung des Trägheitstensors bezüglich einer Orthonormalbasis mit dem Koordinatenursprung im Bezugspunkt enthält er die Trägheits- und Deviationsmomente für Rotationsachsen, die parallel zu den Basisvektoren sind. Durch Koordinatentransformation erhält man die Trägheits- und Deviationsmomente bezüglich anderer Achsen durch den Bezugspunkt.

Für bestimmte Drehachsen ist der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit. Diese Achsen heißen Hauptträgheitsachsen. Zu jedem Körper gibt es mindestens drei aufeinander senkrecht stehende Hauptträgheitsachsen. Sie sind parallel zu den Eigenvektoren des Trägheitstensors. Die entsprechenden Eigenwerte des Trägheitstensors nennt man die Hauptträgheitsmomente des Körpers. Rotiert der Körper um eine andere Achse als eine der Hauptträgheitsachsen, sind sein Drehimpuls und seine Rotationsachse im Allgemeinen nicht parallel. Dann ist als Folge der Drehimpulserhaltung die Rotationsachse nicht fest, sondern rotiert ebenfalls: der Körper ‚eiert‘. Hält man die Rotationsachse in diesem Fall durch Zwang fest, wirken aufgrund der Unwucht Kräfte auf die Lager und der Drehimpuls ist veränderlich.

Trägheitstensoren einfacher Körper finden sich in der Liste von Trägheitstensoren.