Untermannigfaltigkeit des ℝⁿ

In der Mathematik sind Untermannigfaltigkeiten des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (auch: Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums) ein Begriff aus der Analysis und der Differentialgeometrie. Da die Untermannigfaltigkeiten Teilmengen eines euklidischen Raumes sind, erben sie von diesem viele Eigenschaften wie zum Beispiel die Möglichkeit Abstände zu messen. Jedoch kann man jede Untermannigfaltigkeit auch als abstrakte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne umgebenden Raum) betrachten. Die Äquivalenz der beiden Sichtweisen wird durch den Einbettungssatz von Whitney sichergestellt.

Ausgewählte Beispiele, in denen Untermannigfaltigkeiten des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ eine Rolle spielen, sind:

• Optimierung unter Nebenbedingungen
• Mechanische Systeme mit Zwangsbedingungen
• Algebro-Differentialgleichungssysteme, beispielsweise bei der numerischen Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik

In all diesen Anwendungen wird die Menge der betrachteten Punkte von vornherein auf eine Teilmenge ${\displaystyle M}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ eingeschränkt, die sich lokal durch Diffeomorphismen auf Gebiete eines ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ mit ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$ abbilden lässt. Diese Teilmenge ${\displaystyle M}$ wird als ${\displaystyle m}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet. Mit Hilfe der Diffeomorphismen kann man auf der Untermannigfaltigkeit im differentialgeometrischen Sinne genauso rechnen wie in Gebieten des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Meistens wird die Menge ${\displaystyle M}$ durch Nebenbedingungen beschrieben. Das heißt, ${\displaystyle M}$ enthält gerade diejenigen Punkte ${\displaystyle x}$, die mit einer vorgegeben stetig differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n-m}}$ mit ${\displaystyle 0<m<n}$ die Gleichung

${\displaystyle f(x)=0}$

erfüllen. Außerdem wird noch gefordert, dass ${\displaystyle 0}$ ein regulärer Wert von ${\displaystyle f}$ ist, also die Jacobi-Matrix ${\displaystyle Df(x)}$ von ${\displaystyle f}$ für alle Punkte ${\displaystyle x\in M}$ den Maximalrang ${\displaystyle \left.n-m\right.}$ hat.

Die letzte Bedingung sichert die Anwendbarkeit des Satzes über implizite Funktionen. Dieser besagt, dass es zu jedem Punkt ${\displaystyle {\bar {x}}\in M}$ eine ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-Umgebung ${\displaystyle U_{\bar {x}}}$ von ${\displaystyle {\bar {x}}}$ gibt, in der die Punkte ${\displaystyle x\in U_{\bar {x}}\cap M}$ schon eindeutig durch ${\displaystyle m}$ Koordinaten parametrisiert sind. Die Abbildung, die ${\displaystyle x\in U_{\bar {x}}\cap M}$ auf die zur Parametrisierung benötigten Koordinaten projiziert, ist ein Beispiel für eine Kartenabbildungen und ${\displaystyle U_{\bar {x}}\cap M}$ ist das zugehörige Kartengebiet. Da es zu jedem Punkt ${\displaystyle {\bar {x}}\in M}$ eine Kartenabbildung gibt, kann man ganz ${\displaystyle M}$ mit den zugehörigen Kartengebieten überdecken. Eine Menge solcher Karten, mit deren Kartengebieten man ${\displaystyle M}$ überdecken kann, ist ein Beispiel für einen Atlas.

Mit Hilfe der Kartenabbildungen kann man auf ${\displaystyle M}$ lokal wie im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ rechnen. Das motiviert, dass die natürliche Zahl ${\displaystyle m}$ Dimension von ${\displaystyle M}$ genannt wird und ${\displaystyle M}$ als ${\displaystyle m}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet wird.