Wigner-Eckart-Theorem

Das Wigner-Eckart-Theorem (nach Eugene Paul Wigner und Carl Henry Eckart) ist ein Hilfsmittel für die Berechnung der Matrixelemente eines Tensoroperators, wenn dessen Symmetrieeigenschaften bekannt sind.

Für die definierenden Transformationseigenschaften eines Tensoroperators gilt:

${\displaystyle U^{\dagger }T_{q}^{(k)}U=\sum _{q'=-k}^{k}D_{qq'}^{(k)*}T_{q'}^{(k)}}$

wobei

• ${\displaystyle U}$ die unitäre Gruppentransformationsmatrix und
• ${\displaystyle D_{qq'}^{(k)}}$ eine irreduzible Darstellung dieser Gruppe in der Basis ${\displaystyle |\alpha ,jm\rangle }$ ist.

Theorem: Das Matrixelement eines sphärischen Tensoroperators, ausgedrückt in den Eigenzuständen des Drehimpulsoperators, erfüllt folgende Gleichung:

${\displaystyle \langle \alpha ',j'm'|T_{q}^{(k)}|\alpha ,jm\rangle =\langle jm;kq|j'm'\rangle \langle \alpha 'j'\|T^{(k)}\|\alpha j\rangle }$

Hierbei ist

• ${\displaystyle T^{(k)}}$ ein Tensor des Rangs k
• j der Gesamtdrehimpuls
• m die zugehörige magnetische Quantenzahl
• ${\displaystyle \alpha }$ alle weiteren zur Beschreibung des Systems nötigen Quantenzahlen des Zustandes.

Für Rotationssymmetrie sind ${\displaystyle \langle jm;kq|j'm'\rangle }$ die Clebsch-Gordan-Koeffizienten zur Addition von zwei Drehimpulsen ${\displaystyle j}$ und ${\displaystyle k}$ und den jeweiligen z-Komponenten ${\displaystyle m}$ bzw. ${\displaystyle q}$ zum Drehimpuls ${\displaystyle j'}$ mit z-Komponente ${\displaystyle m'}$.

Der von m und m‘ sowie q unabhängige Faktor wird als reduziertes Matrixelement bezeichnet, gekennzeichnet durch die 2 Striche beiderseits von ${\displaystyle T^{(k)}}$. Darin besteht auch der Vorzug, denn dieses von m und m‘ unabhängige Matrixelement wird nur ein Mal berechnet, ist dann für alle anderen Matrixelemente gleich und ermöglicht somit eine einfache Berechnung beliebiger Matrixelemente.