Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie (auch Vektorgeometrie oder Koordinatengeometrie) ist ein Teilgebiet der Geometrie, das algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) zur Lösung geometrischer Probleme bereitstellt. Der Kerngedanke der analytischen Geometrie besteht darin, geometrische Gebilde wie Kurven (insbesondere Geraden) oder Flächen (insbesondere Ebenen) als Punktmengen aufzufassen und jedem Punkt Zahlen zuzuordnen, die den Punkt eindeutig beschreiben (sogenannte Koordinaten). Kurven und Flächen können dadurch oft mithilfe von Gleichungen oder Gleichungssystemen beschrieben werden. Dies ermöglicht es in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen. Die Ergebnisse dieser Berechnungen werden dann in geometrische Aussagen „rückübersetzt“.

Demgegenüber wird Geometrie, die ihre Sätze ohne Bezug zu einem Koordinatensystem auf einer axiomatischen Grundlage begründet, als synthetische Geometrie bezeichnet.

Die Verfahren der analytischen Geometrie werden in allen Naturwissenschaften angewendet, vor allem aber in der Physik, wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Planetenbahnen. Ursprünglich befasste sich die analytische Geometrie nur mit Fragestellungen der ebenen und der räumlichen (euklidischen) Geometrie. Im allgemeinen Sinn jedoch beschreibt die analytische Geometrie affine Räume beliebiger Dimension über beliebigen Körpern.

Die analytische Geometrie bildet die Grundlage für die meisten modernen Gebiete der Geometrie wie die algebraische Geometrie, die Differentialgeometrie, die diskrete Geometrie und die algorithmische Geometrie.