Autokorrelation

Die Autokorrelation (auch Kreuzautokorrelation) ist ein Begriff aus der Stochastik und der Signalverarbeitung und beschreibt die Korrelation einer Funktion oder eines Signals mit sich selbst zu einem früheren Zeitpunkt. Korrelationsfunktionen werden für Folgen von Zufallsvariablen ${\displaystyle x(t)}$ berechnet, die von der Zeit ${\displaystyle t}$ abhängen. Diese Funktionen geben an, wie viel Ähnlichkeit die um die Zeit ${\displaystyle \tau }$ verschobene Folge ${\displaystyle x(t-\tau )}$ mit der ursprünglichen Folge ${\displaystyle x(t)}$ hat. Da die unverschobene Folge mit sich selbst am ähnlichsten ist, hat die Autokorrelation für die unverschobene Folge ${\displaystyle (\tau =0)}$ den höchsten Wert. Wenn zwischen den Gliedern der Folge eine Beziehung besteht, die mehr als zufällig ist, hat auch die Korrelation der ursprünglichen Folge mit der verschobenen Folge in der Regel einen Wert, der signifikant von Null abweicht. Man sagt dann, die Glieder der Folge sind autokorreliert.

Da die Folge ${\displaystyle x(t)}$ mit einer verschobenen Version ihrer selbst verglichen wird, spricht man von einer Autokorrelation. Werden hingegen zwei verschiedene Folgen ${\displaystyle x(t)}$ und ${\displaystyle y(t-\tau )}$ verglichen, spricht man von einer Kreuzkorrelation. Mit der Autokorrelation ist es möglich, Zusammenhänge zwischen den beobachteten Ergebnissen zu verschiedenen Beobachtungszeitpunkten einer Messreihe festzustellen. Die Kreuzkorrelation gibt dagegen die Korrelation zwischen verschiedenen Merkmalen in Abhängigkeit von der Zeit an.

In der Signalverarbeitung geht man häufig auch von kontinuierlichen Messdaten aus. Man spricht von Autokorrelation, wenn die kontinuierliche oder zeitdiskrete Funktion (z. B. ein- oder mehrdimensionale Funktion über die Zeit oder den Ort) mit sich selbst korreliert wird, beispielsweise ${\displaystyle x(t)}$ mit ${\displaystyle x(t+\tau )}$. Mit dem Durbin-Watson-Test kann anhand einer Stichprobe überprüft werden, ob eine Zeitreihe oder räumliche Daten eine Autokorrelation aufweisen.

Die Autokorrelation wird in den verschiedenen Disziplinen unterschiedlich definiert. In der Statistik wird sie für stochastische Prozesse ${\displaystyle X_{t}}$ als normierte Form der Autokovarianz berechnet, in der Signalverarbeitung als Faltung des zeitabhängigen Signals ${\displaystyle x(t)}$ mit sich selbst. In manchen Gebieten werden die Begriffe Autokorrelation und Autokovarianz auch synonym verwendet.

In einem Korrelogramm kann die geschätzte Autokorrelation inklusive Konfidenzintervallen grafisch dargestellt werden und so schnell die statistische Signifikanz einer geschätzten Autokorrelation bewertet werden. Alternativ kann auch der Portmanteau-Test zum Test auf Autokorrelation verwendet werden.

1. ↑ auf Englisch cross-autocorrelation, Google Books