Baum-Connes-Vermutung

Die Baum-Connes-Vermutung ist eine mathematische Vermutung, die eine tiefe Verbindung zwischen der K-Theorie und K-Homologie von Strukturen macht, welche mit einer topologischen Gruppe verbunden sind. Die Vermutung verknüpft dadurch das Gebiet der Topologie mit der Funktionalanalysis. Sie sagt, dass die K-Homologie des klassifizierenden Raumes der eigentlichen Wirkung einer lokalkompakten Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ vollständig durch die K-Theorie ihrer reduzierten Gruppen-C*-Algebra ${\displaystyle C_{r}^{*}(\Gamma )}$ beschrieben werden können. Formal wird eine Abbildung ${\displaystyle \mu ^{\Gamma }}$ zwischen der K-Homologie und der K-Gruppe gebildet, die sogenannte (analytische) Assembly-Abbildung, und die Vermutung ist, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist.

Die Vermutung wurde 1982 von Paul Baum und Alain Connes formuliert. Die Wichtigkeit der Vermutung liegt insbesondere darin, dass ein positiver Beweis der Vermutung weitere Vermutungen impliziert, darunter die Nowikow-Vermutung, die Gromow-Lawson–Rosenberg-Vermutung (in einer Richtung) und die Kaplansky-Kadison-Vermutung.

1. ↑ Paul Baum und Alain Connes: Geometric K-theory for Lie groups and foliations. In: L’Enseignement Mathématique. IIe Série. Band 46, 2000, doi:10.5169/seals-64793. 
2. ↑ Alain Valette: Introduction to the Baum-Connes Conjecture (= Lectures in Mathematics ETH Zürich). Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 978-3-7643-6706-0, S. viii, doi:10.1007/978-3-0348-8187-6.