K-Theorie von Banachalgebren

Die K-Theorie von Banachalgebren ist ein Konzept aus dem mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis. Sie liefert Invarianten für Banachalgebren, das sind in der Funktionalanalysis untersuchte Algebren, die einige bekannte Funktionenräume und Operatorenalgebren wie zum Beispiel Räume stetiger oder integrierbarer Funktionen oder Algebren stetiger linearer Operatoren auf Banachräumen anhand wesentlicher gemeinsamer Eigenschaften verallgemeinern.

Sie verallgemeinert die topologische K-Theorie, die sich mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen befasst, auf allgemeine Banachalgebren, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume ${\displaystyle X}$ kann als K-Theorie der Banachalgebren ${\displaystyle C(X)}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {C} }$ umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung ${\displaystyle X\mapsto C(X)}$ ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren. Im Folgenden sei ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra, ${\displaystyle A^{+}}$ gehe aus ${\displaystyle A}$ durch Adjunktion eines Einselementes hervor.

1. ↑ Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.