Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl

Der Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ kann auf mehrere Arten geführt werden. Beweise der Irrationalität von e gaben zuerst Leonhard Euler 1737, Johann Heinrich Lambert 1768 (beide über Kettenbruchentwicklung) und Joseph Fourier in seinen Vorlesungen an der Ecole Polytechnique 1815 (ein „elementarer“ Beweis als Widerspruchsbeweis). Der Beweis von Fourier ist von Joseph Liouville auch auf den Irrationalitätsbeweis von ${\displaystyle e^{2}}$ ausgedehnt worden. Später wurden noch einige weitere Beweise gegeben.

Der Beweis, dass ${\displaystyle e}$ sogar transzendent ist, ist komplizierter und wurde zuerst 1873 von Charles Hermite geführt.

1. ↑ Euler: De fractionibus continuis dissertatio. Comm. Acad. Sci. Petrop., Band 9, 1737 (erschienen 1744), 98-137, (E 71), sein Aufsatz über Kettenbrüche. Er geht darauf auch kurz in seiner Introductio in analysin infinitorum, Band 1, 1748 ein. Dass dies ein vollgültiger Beweis war, zeigt (Euler zeigt unter Verwendung der Riccatischen Differentialgleichung, dass die Kettenbruchentwicklung von e nicht abbricht) zum Beispiel Ed Sandifer in seiner Kolumne How Euler did it, Who proved e is irrational ? (MAA online, Februar 2006), PDF.
2. ↑ Liouville: Sur l´irrationalité du nombre e. J. Math. Pures Appl., 5, 1840, 192.
3. ↑ O. Perron: Irrationalzahlen. de Gruyter, Berlin 1910.
4. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 81–83.