Eulersche Betafunktion

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine spezielle Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit ${\displaystyle \mathrm {B} }$ bezeichnet wird. Ihre Integraldarstellung lautet:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t,}$

wobei ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ einen positiven Realteil haben müssen. Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf und ist eng mit der Eulerschen Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$ verwandt. Es gilt folgende Identität:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

1. ↑ V. I. Bityutskov: Beta-function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id
2. ↑ Emil Artin: The Gamma Function. S. 18–19 (englisch, plouffe.fr (Memento des Originals vom 12. November 2016 im Internet Archive) [abgerufen am 11. November 2016]).