Gammafunktion

Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein ${\displaystyle \Gamma }$, den griechischen Großbuchstaben Gamma, bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$

für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$, wobei mit ${\displaystyle$ !} die Fakultät bezeichnet wird. Die Gammafunktion erweitert also die Fakultätsfunktion auf nichtnatürliche Argumente, jedoch mit einer Verschiebung des Arguments der Funktion um 1 im Vergleich mit der Fakultät. Genauer ist die Gammafunktion für alle komplexen Zahlen außer Null und den negativen ganzen Zahlen definiert. Ihr Definitionsbereich ist also ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\dotsc \}}$.

Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler führte 1729 die Gammafunktion ein, als er versuchte, die Fakultät auf nicht-ganzzahlige Argumente zu verallgemeinern. Er definierte die Gammafunktion durch ein unendliches Produkt. Es gibt jedoch noch weitere äquivalente Möglichkeiten, die Gammafunktion zu definieren. Heute wird die Gammafunktion oft mit der folgenden Integraldarstellung definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t}$

Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde.