Größter gemeinsamer Teiler

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die jeweils größte natürliche Zahl ${\displaystyle m}$, durch die sich zwei oder mehr gegebene ganze Zahlen ohne Rest teilen lassen. Weiterhin sind auch alle (echten) Teiler von ${\displaystyle m}$ dann Teiler aller beteiligten Zahlen, aber nicht die größten Teiler. Ist der größte gemeinsame Teiler ${\displaystyle 1}$, sind die beteiligten Zahlen teilerfremd. In der elementaren Mathematik ist dessen wichtigste Anwendung das Kürzen von Brüchen.

So ist der ${\displaystyle \operatorname {ggT} (10,\ 15)=5}$, da sich sowohl ${\displaystyle 10}$ und ${\displaystyle 15}$ durch ${\displaystyle 5}$ teilen lassen. Der Bruch ${\displaystyle {\tfrac {10}{15}}}$ lässt sich zu ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ kürzen. Die beiden „verbleibenden“ Zahlen ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle 3}$ sind nun teilerfremd und lassen sich nicht weiter kürzen.

Sein Pendant ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Beide spielen unter anderem in der Arithmetik, der Algebra und der Zahlentheorie eine Rolle.

Wichtigste Anwendung ist heutzutage die Kryptografie.

Das Konzept des größten gemeinsamen Teilers lässt sich auf Gaußsche Zahlen, Polynome und vieles andere erweitern.