Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Das Gram-Schmidt’sche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren aus einem Prähilbertraum (einem Vektorraum mit Skalarprodukt) ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidt’sche Orthonormalisierungsverfahren dar: Statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Verwendet man ein System von Basisvektoren als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis.

Die beiden Verfahren sind nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin-Louis Cauchy verwendet.

Für die numerische Berechnung durch einen Computer mit Gleitpunktarithmetik sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte Rundungsfehler sind die berechneten Vektoren nicht mehr orthogonal. Es existieren aber Modifikationen des Verfahrens, die diesen Nachteil nicht haben. Andere Orthogonalisierungsverfahren basieren auf Householdertransformationen oder Givens-Rotationen.

1. ↑ Jørgen Pedersen Gram: Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittels der Methode der kleinsten Quadrate. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 94, 1883. 
2. ↑ Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen lntegralgleichungen. In: Mathematische Annalen. Band 63, 1907, S. 433–476. 
3. ↑ Ward Cheney, David Kincaid: Linear Algebra: Theory and Applications. Jones and Bartlett Publishers, 2008, S. 544 (google.de).