Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$ (sprich „a mal b“) zweier Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$ nach der Formel

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}}).}$

Dabei bezeichnen ${\displaystyle |{\vec {a}}|}$ und ${\displaystyle |{\vec {b}}|}$ jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit ${\displaystyle \cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=\cos \varphi }$ wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels ${\displaystyle \varphi }$ (phi) bezeichnet. Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen.

In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2})}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1},b_{2})}$ als

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}.}$

In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})}$ als

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$

In der linearen Algebra wird dieses Konzept auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinert mittels

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}.}$

Noch allgemeiner versteht man in der linearen Algebra unter einem Skalarprodukt eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet, genauer eine (positiv definite) hermitesche Sesquilinearform bzw. spezieller bei reellen Vektorräumen eine (positiv definite) symmetrische Bilinearform. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

1. ↑ Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 2. 4. Auflage. Springer, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1972, ISBN 3-540-02956-7, S. 6. 
2. ↑ Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure 1. 9. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2024, ISBN 978-3-662-69657-6, S. 48. 
3. ↑ Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 2001, S. 189. 
4. ↑ Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 2001, S. 191.