Intervallarithmetik

Intervallarithmetik bezeichnet in der Mathematik eine Methodik zur automatisierten Fehlerabschätzung auf Basis abgeschlossener Intervalle. Dabei werden nicht genau bekannte reelle Größen ${\displaystyle x}$ betrachtet, die aber durch zwei Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ eingegrenzt werden können. Dabei kann ${\displaystyle x}$ zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ liegen oder auch einen der beiden Werte annehmen. Dieser Bereich entspricht mathematisch gesehen dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$. Eine Funktion ${\displaystyle f}$, die von einem solchen unsicheren ${\displaystyle x}$ abhängt, kann nicht genau ausgewertet werden. Es ist schließlich nicht bekannt, welcher Zahlenwert innerhalb von ${\displaystyle [a,b]}$ für ${\displaystyle x}$ eigentlich eingesetzt werden müsste. Stattdessen wird ein möglichst kleines Intervall ${\displaystyle [c,d]}$ bestimmt, das gerade die möglichen Funktionswerte ${\displaystyle f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$ enthält. Durch gezielte Abschätzung der Endpunkte ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle d}$ erhält man eine neue Funktion, die wiederum Intervalle auf Intervalle abbildet.

Dieses Konzept eignet sich unter anderem zur Behandlung von Rundungsfehlern direkt während der Berechnung und falls Unsicherheiten in der Kenntnis der exakten Werte physikalischer und technischer Parameter vorliegen. Letztere ergeben sich oft aus Messfehlern und Bauteil-Toleranzen. Außerdem kann Intervallarithmetik dabei helfen, verlässliche Lösungen von Gleichungen und Optimierungsproblemen zu erhalten.

Als Beispiel soll hier die Berechnung des Körpermasseindex (BMI von engl. Body Mass Index) betrachtet werden. Der BMI ist die Körpermasse in Kilogramm geteilt durch das Quadrat der Körpergröße in Metern. Zur Illustration soll die Gewichtsbestimmung (eigentlich Massebestimmung) mit Hilfe einer Badezimmerwaage erfolgen, bei der das Gewicht auf ein Kilogramm genau abgelesen werden kann. Es werden also niemals Zwischenwerte bestimmt – etwa 79,6 kg oder 80,3 kg –, sondern auf ganze Zahlen gerundete Angaben. Dabei ist es natürlich sehr unwahrscheinlich, dass man wirklich exakt 80,0 kg wiegt, wenn dies angezeigt wird. Bei üblicher Rundung auf den nächstliegenden Gewichtswert liefert die Waage 80 kg für jedes Gewicht zwischen 79,5 kg und 80,5 kg. Den entsprechenden Bereich aller reellen Zahlen, die größer oder gleich 79,5 und gleichzeitig kleiner oder gleich 80,5 sind, kann einfach als Intervall ${\displaystyle [79{,}5;80{,}5]}$ aufgeschrieben werden. Um Verwechslungen zu vermeiden, setzt man meistens einen Punkt statt eines Kommas als Dezimaltrennzeichen.

Für einen Menschen, der 80 kg wiegt und 1,80 m groß ist, liegt der BMI bei ungefähr 24,7. Bei einem Gewicht von 79,5 kg und gleicher Körpergröße müsste aber nur ein Wert von 24,5 angenommen werden, wohingegen 80,5 kg schon fast 24,9 entsprechen. Der tatsächliche BMI liegt also in dem Bereich ${\displaystyle [24{,}5;24{,}9]}$. In diesem Fall kann der Fehler in der Praxis zwar noch vernachlässigt werden, jedoch ist das nicht bei allen Rechnungen der Fall. Beispielsweise schwankt das Gewicht auch im Laufe eines Tages, so dass der BMI hier durchaus zwischen 24 (noch normalgewichtig) und 25 (schon übergewichtig) variieren kann. Ohne detaillierte Rechnung können aber nicht immer von vornherein Aussagen darüber getroffen werden, ob ein Fehler letztendlich groß genug ist, um maßgeblichen Einfluss zu haben.

In der Intervallarithmetik wird der Bereich möglicher Ergebnisse ausdrücklich berechnet. Vereinfacht gesagt, rechnet man nicht mehr mit Zahlen, sondern mit Intervallen, die nicht genau bekannte Werte repräsentieren. Ähnlich wie ein Fehlerbalken um einen Messwert drückt ein Intervall das Ausmaß der Unsicherheit bezüglich der zu berechnenden Größe aus. Hierfür werden einfache Rechenoperationen, wie die Grundrechenarten oder trigonometrische Funktionen, für das Rechnen mit Intervallen neu definiert, um äußere Grenzen eines gesuchten Wertebereiches zu erhalten.