Lax-Paar

Ein Lax-Paar bezeichnet in der Mathematik zwei Matrizen oder Operatoren ${\displaystyle L(t)}$ und ${\displaystyle M(t)}$, die von einem Zeitparameter abhängen ${\displaystyle t}$ und die Lax-Gleichung

${\displaystyle L_{t}=[M,L]}$

erfüllen, wobei ${\displaystyle L_{t}={\frac {\partial L}{\partial t}}}$ die partielle Ableitung nach ${\displaystyle t}$ und ${\displaystyle [M,L]=ML-LM}$ den Kommutator bezeichnet. Sie sind nach Peter Lax benannt, der sie 1968 im Studium der Korteweg-de-Vries-Gleichung formalisierte.

Lax-Paare sind ein nützliches Werkzeug zum Ermitteln der Erhaltungsgrößen einiger dynamischer Systeme. Die Lax-Gleichung stellt sicher, dass die Eigenwerte (Spektrum) des Operator ${\displaystyle L}$ unabhängig von der Zeit sind. Diese Eigenschaft wird als Isospektralität bezeichnet.

Lax-Paare spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der integrablen Systeme und werden für die Inverse Streutransformation benötigt. Die Sacharow-Schabat-Konstruktion ist eine Methode um Lax-Paare zu konstruieren.

1. ↑ Peter Lax: Integrals of nonlinear equations of evolutions. In: Comm. Pure Appl. Math. Band 21, 1968, S. 467–490.