Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus

Der lemniskatische Sinus (lateinisch Sinus lemniscatus) und der lemniskatische Kosinus (lateinisch Cosinus lemniscatus), abgekürzt mit ${\displaystyle \operatorname {sinlemn} }$ und ${\displaystyle \operatorname {coslemn} }$ oder ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ und ${\displaystyle \operatorname {cl} }$, sind zwei spezielle, von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Funktionen. Sie haben für die Lemniskate von Bernoulli die entsprechende Bedeutung wie die Sinus- und die Kosinusfunktion für den Kreis.

Die Funktionen ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ und ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ lassen sich zu meromorphen Funktionen in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (Menge der komplexen Zahlen) fortsetzen. Sie erfüllen die Periodizitätseigenschaften

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} (z+2\varpi )=\operatorname {sl} (z),\qquad &\operatorname {sl} (z+2\mathrm {i} \varpi )=\operatorname {sl} (z),\\\operatorname {cl} (z+2\varpi )=\operatorname {cl} (z),\qquad &\operatorname {cl} (z+2\mathrm {i} \varpi )=\operatorname {cl} (z),\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \varpi =2{,}62205\ldots }$ die lemniskatische Konstante ist, und gehören daher (als historisch erste Beispiele) zu den elliptischen Funktionen.

Der lemniskatische Kosinus kann direkt vom lemniskatischen Sinus abgeleitet werden. Verschiebt man nämlich den Graphen der Funktion ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ um ${\displaystyle {\tfrac {\varpi }{2}}}$ nach links, so entsteht der Graph von ${\displaystyle \operatorname {cl} }$.