Lotka-Volterra-Gleichungen

Die Lotka-Volterra-Gleichungen (auch als Räuber-Beute-Gleichungen bekannt) bilden ein System von zwei nichtlinearen, gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung, mit denen die Räuber-Beute-Beziehung bei tierischen Populationen beschrieben wird. Mit Räubern und Beute sind zwei Klassen von Lebewesen gemeint, deren eine sich von der anderen ernährt. Aufgestellt wurden die Gleichungen 1925 von Alfred J. Lotka und, unabhängig davon, 1926 von Vito Volterra. Wesentliche Eigenschaften der Lösungen dieser Gleichungen sind als Lotka-Volterra-Regeln bekannt.

Die Ratengleichungen lauten

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N_{1}}{\mathrm {d} t}}=N_{1}(\epsilon _{1}-\gamma _{1}N_{2}),\qquad {\frac {\mathrm {d} N_{2}}{\mathrm {d} t}}=-N_{2}(\epsilon _{2}-\gamma _{2}N_{1})}$

mit den Bezeichnungen

${\displaystyle N_{1}=N_{1}(t)}$	Anzahl der Beutelebewesen	zeitabhängig
${\displaystyle \epsilon _{1}>0}$	Reproduktionsrate der Beute ohne Störung und bei großem Nahrungsangebot	konstant
${\displaystyle \gamma _{1}>0}$	Fressrate der Räuber pro Beutelebewesen = Sterberate der Beute pro Räuber	konstant
${\displaystyle N_{2}=N_{2}(t)}$	Anzahl der Räuber	zeitabhängig
${\displaystyle \epsilon _{2}>0}$	Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist	konstant
${\displaystyle \gamma _{2}>0}$	Reproduktionsrate der Räuber pro Beutelebewesen	konstant

Die Lotka-Volterra-Gleichungen sind eine wichtige Grundlage der Theoretischen Biologie, und darin insbesondere der Populationsdynamik. Bei den Räubern und der Beute muss es sich nicht unbedingt nur um Tiere oder einzelne Arten handeln; prinzipiell ist das Modell auf Gilden anwendbar – siehe z. B. Volterras Fischereidaten. Die Anwendbarkeit der Lotka-Volterra-Gleichungen hängt dabei davon ab, inwieweit die Begründung des mathematischen Modells im Einzelfall zutrifft.

1. ↑ chap. I, sec. II. Deux espèces dont l’une dévore l’autre
2. ↑ S. 14

1. ↑ Elements of Physical Biology. 1925, S. 115
2. ↑ Vito Volterra: Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi. In: Mem. R. Accad. Naz. dei Lincei. Ser. VI, vol. 2, 31-113.