Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot-Menge, benannt nach Benoît Mandelbrot, ist die Menge der komplexen Zahlen ${\displaystyle c,}$ für welche die durch die iterative Vorschrift ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$ mit dem Anfangswert ${\displaystyle z_{0}=0}$ definierte Folge ${\displaystyle z_{0},z_{1},z_{2},z_{3},\ldots }$ endlich bleibt, d. h. beschränkt ist.

Interpretiert man die Mandelbrot-Menge (eine Teilmenge der Gaußschen Zahlenebenen) als geometrische Figur, so ergibt sie ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft Apfelmännchen genannt wird. Bilder berechnet man, indem man jedem Pixel ${\displaystyle (x,y)}$ eines Bildes eine komplexe Zahl zuordnet ${\displaystyle (c=c_{0}+a\!\cdot \!x+bi\!\cdot \!y)}$ und beginnend mit ${\displaystyle z_{0}=0}$ untersucht, ob und wann die Iterationen anfangen, zu „explodieren“. Bleiben die Werte klein, wird das Pixel häufig schwarz gefärbt, kommt es zu einer „Explosion“ der Zahlenwerte, wird die Anzahl der dafür notwendigen Iterationen als Farbe kodiert.

Die ersten mit einem Computer generierten Darstellungen wurden 1978 von Robert W. Brooks und Peter Matelski vorgestellt. 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot eine Arbeit über das Thema. Später wurde sie von Adrien Douady und John Hamal Hubbard in einer Reihe grundlegender mathematischer Arbeiten systematisch untersucht. Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker Pierre Fatou erarbeitet.

1. ↑ Im Bild rechts mit 4000 × 3000 Pixeln ist c₀ = −0,7 (Mittelpunkt) und a = b = 3,1 / 4000 = 0,000775 (Pixelgröße) gewählt worden. Die Pixel­koordinate x läuft von −2000 bis 1999 und y von −1500 bis 1499. Dabei wird die komplexe Zahlen­ebene im Realteil von −2,25 bis 0,85 und im Imaginärteil von −1,1625 bis 1,1625 abgerastert.
2. ↑ Im Bild rechts wird die 5 als dunkelrot, 10 als blau, 15 als grün und 20 als türkis kodiert. Die Mandelbrot-Menge im Inneren selbst wird wie oft üblich schwarz kodiert.
3. ↑ Ausgabe auf einem Blatt Papier mit einem Drucker mit ca. 72 x 35 Pixeln Auflösung.

1. ↑ Robert Brooks, J. Peter Matelski: The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C). In: Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference. In: Annals of Mathematics Studies. Band 97, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1981, S. 65–71. PDF; 0,9 MB.
2. ↑ Benoît Mandelbrot: Fractal aspects of the iteration of ${\displaystyle z\mapsto \lambda z(1-z)}$ for complex ${\displaystyle \lambda ,z.}$ In: Annals of the New York Academy of Sciences. Band 357, S. 249–259.
3. ↑ Adrien Douady, John H. Hubbard: Etude dynamique des polynômes complexes. In: Prépublications mathématiques d’Orsay. 2/4, 1984/1985. PDF; 5,2 MB (Memento vom 30. Januar 2017 im Internet Archive). Englische Übersetzung: PDF; 1,6 MB.