Matrix-Vektor-Produkt

Das Matrix-Vektor-Produkt ist in der linearen Algebra das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor. Damit eine solche Matrix-Vektor-Multiplikation durchgeführt werden kann, muss die Spaltenzahl der Matrix mit der Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmen; das Ergebnis ist dann wieder ein Spaltenvektor, der genauso viele Komponenten wie die Matrix Zeilen hat. Seine Elemente ergeben sich durch komponentenweise Multiplikation und Summation der Einträge der entsprechenden Zeile der Matrix mit den Elementen des Ausgangsvektors:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}+\cdots +a_{1n}v_{n}\\a_{21}v_{1}+a_{22}v_{2}+\cdots +a_{2n}v_{n}\\\vdots \\a_{m1}v_{1}+a_{m2}v_{2}+\cdots +a_{2m}v_{n}\end{pmatrix}}}$

Das Matrix-Vektor-Produkt kann als Spezialfall einer Matrizenmultiplikation angesehen werden, bei der die zweite Matrix aus nur einer Spalte besteht. Umgekehrt lässt sich die Matrixmultiplikation als Verallgemeinerung des Matrix-Vektor-Produkts auffassen, bei der das Matrix-Vektor-Produkt für jede Spalte der Matrix ausgerechnet wird und die Ergebnisvektoren die Spalten der Ergebnismatrix bilden.

Das Matrix-Vektor-Produkt wird beispielsweise in der Matrixschreibweise linearer Gleichungssysteme sowie bei iterativen Verfahren zu ihrer numerischen Lösung eingesetzt. Weiter kann jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen nach Wahl entsprechender Basen als Matrix-Vektor-Produkt dargestellt werden.

1. ↑ Heribert Bieler: Vorkurs Mathematik. Springer Vieweg, Wiesbaden 2025, ISBN 978-3-658-48665-5, S. 172.