Offene Menge

Der Begriff der offenen Menge (bzw. der offenen Teilmenge) ist einer der grundlegenden Begriffe des mathematischen Gebiets der Mengentheoretischen Topologie und als solcher eine Verallgemeinerung des Begriffs des offenen Intervalls der reellen Zahlengeraden. Dabei versteht man – anschaulich – eine Menge in einem topologischen Raum als offen, wenn jedes ihrer Elemente nur von Elementen dieser Menge selbst umgeben ist, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt.

Ob eine Teilmenge offen ist oder nicht, hängt von der Struktur des topologischen Raumes ab, in dem sie liegt. So ist etwa die Menge der rationalen Zahlen ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle 0<x<1}$ eine offene Teilmenge der Menge aller rationalen Zahlen, jedoch keine solche der gesamten reellen Zahlengeraden, da jedes Intervall reeller Zahlen mit mehr als einem Element auch irrationale Zahlen enthält.

Die Komplementärmenge einer offenen Menge nennt man abgeschlossene Menge. Abgeschlossene Mengen sind dadurch charakterisiert, dass sie alle ihre Häufungspunkte enthalten. Zu beachten ist, dass es sowohl Mengen gibt, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie etwa das Intervall ${\displaystyle (0,1]}$ auf den reellen Zahlen, als auch Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, werden als abgeschlossene offene Menge (auch abgeschloffene Mengen, nach dem englischen Begriff als clopen set bezeichnet).

Der Begriff der offenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Üblicherweise beginnt man mit der Topologie der reellen Zahlen und verallgemeinert dann über die Topologie des euklidischen Raums und die der metrischen Räume bis hin zur Struktur des allgemeinen topologischen Raums.