Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Um die Menge aller rationalen Zahlen zu bezeichnen, wird das Formelzeichen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (Unicode U+211A: ℚ) verwendet (von „Quotient“, siehe Buchstabe mit Doppelstrich). Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Die genaue mathematische Definition beruht auf Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen.

Die positiven rationalen Zahlen werden in der Schulmathematik auch gebrochene Zahlen oder Bruchzahlen genannt. Durch ihre Einführung wird die Division auch dann durchführbar, wenn bspw. der Dividend kleiner ist als der Divisor. Beispielsweise ist die Divisionsaufgabe 3 : 4 = ? innerhalb der natürlichen oder ganzen Zahlen nicht lösbar.

Der Bruch ³⁄₄ beispielsweise stellt dar:

1. die Division 3 : 4 (3 verteilt auf 4, 3 aufgeteilt auf 4, 3 eingeteilt in 4er, 3 geteilt in 4 (gleiche) Teile, 3 dividiert durch 4),
2. das Ergebnis der Division als eigene (Bruch-)Zahl ³⁄₄ (drei Viertel),
3. den Auftrag: „Teile in 4 Teile, nimm 3“ (drei von vier (Teilen)).

Die Begriffe gewöhnlicher Bruch, Stammbruch, echter Bruch, unechter Bruch, gekürzter Bruch, erweiterter Bruch, Dezimalbruch, Binärbruch … werden dagegen für besondere Schreibweisen oder Formen von rationalen Zahlen verwendet. Die Dezimalbruchentwicklung einer rationalen Zahl ist endlich oder unendlich periodisch.

Eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist, wird als irrationale Zahl bezeichnet. Dazu gehören etwa ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \mathrm {e} }$ und ${\displaystyle \Phi }$. Die Dezimalbruchentwicklung einer irrationalen Zahl ist unendlich nicht periodisch.

Da die rationalen Zahlen eine abzählbare Menge bilden, die reellen Zahlen jedoch eine überabzählbare Menge, sind „fast alle“ reellen Zahlen irrational.

1. ↑ Eric W. Weisstein: Rational Number. In: mathworld.wolfram.com. Abgerufen am 11. August 2020 (englisch). 
2. ↑ Kenneth Rosen: Discrete Mathematics and its Applications. 6. Auflage. McGraw-Hill, New York, NY, ISBN 978-0-07-288008-3, S. 105, 158–160 (englisch).