Orthogonalprojektion
Eine Orthogonalprojektion (von gr. ὀρθός orthós ‚gerade‘, γωνία gōnía ‚Winkel‘ und lat. prōicere, PPP prōiectum ‚vorwärtswerfen‘), orthogonale Projektion oder senkrechte Projektion ist eine Abbildung, die in vielen Bereichen der Mathematik eingesetzt wird. Bei der Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade oder eine Ebene bildet die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild mit dieser Gerade oder Ebene einen rechten Winkel. Das Abbild hat dann von allen Punkten der Gerade oder Ebene den kürzesten Abstand zum Ausgangspunkt. Eine Orthogonalprojektion ist damit ein Spezialfall einer Parallelprojektion, bei der die Projektionsrichtung gleich der Normalenrichtung der Gerade oder Ebene ist. Auch andere geometrische Objekte lassen sich durch Orthogonalprojektionen aufeinander abbilden, wie eine Gerade auf eine Ebene. Dazu wird jeder Punkt der Gerade auf die Ebene projiziert, was eine in der Ebene liegende Gerade ergibt.
In der linearen Algebra wird das Konzept der Orthogonalprojektion auf höherdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen und allgemeinere Winkel- und Abstandsbegriffe erweitert. Eine Orthogonalprojektion ist dann die Projektion eines Vektors auf einen Untervektorraum, sodass der Differenzvektor aus Abbild und Ausgangsvektor in dessen orthogonalem Komplement liegt. In der Funktionalanalysis wird der Begriff noch weiter in unendlichdimensionalen Skalarprodukträumen gefasst und insbesondere auf Funktionen angewandt. Die Existenz und Eindeutigkeit solcher Orthogonalprojektionen stellt dann der Projektionssatz sicher.
Orthogonalprojektionen besitzen vielfältige Einsatzbereiche innerhalb der Mathematik, beispielsweise in der darstellenden Geometrie, dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren, der Methode der kleinsten Quadrate, dem Verfahren der konjugierten Gradienten, der Fourier-Analysis oder der Bestapproximation. Sie besitzen Anwendungen unter anderem beim Technischen Zeichnen, in der Kartografie, der Computergrafik und der Physik.
- ↑ Jens Kunath: Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 242.