Oszillierendes Integral

Ein oszillierendes Integral ist ein mathematischer Begriff aus der Analysis, insbesondere aus der Fourier-Analysis und der Theorie partieller Differentialgleichungen. Er bezeichnet Integralausdrücke, deren Integrand eine stark oszillierende Exponentialfunktion enthält. Solche Integrale treten beispielsweise in der Darstellung von Lösungen partieller Differentialgleichungen, in der Fourier-Analysis sowie in der Theorie der Fourier-Integraloperatoren auf.

Häufig konvergieren Integrale mit stark oszillierenden Integranden im klassischen Sinn nicht. Durch geeignete Regularisierungsverfahren lassen sie sich jedoch dennoch sinnvoll definieren, etwa als Distributionen oder als Grenzwerte regulierter Integrale. Auf diese Weise können Integralausdrücke der Form

${\displaystyle \int e^{i\varphi (x,\xi )}a(x,\xi )d\xi }$

interpretiert werden, wobei ${\displaystyle \varphi }$ eine sogenannte Phasenfunktion und ${\displaystyle a}$ eine Amplitude ist.

Der Begriff des oszillierenden Integrals spielt eine zentrale Rolle in der Theorie der Fourier-Integraloperatoren sowie in asymptotischen Methoden wie der Methode der stationären Phase.