Satz von Cauchy (Geometrie)

Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy`s Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy zurückgeht und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt ${\displaystyle 1/4}$.

Der Satz wurde von Cauchy 1841 und 1850 für ${\displaystyle n=2,3}$ bewiesen und im allgemeinen Fall von T. Kubota, Hermann Minkowski und Tommy Bonnesen.

1. ↑ Cauchy, Note sur divers théorèmes à la rectification des courbes et à la quadrature des surfaces, Compte Rendu Acad. Sci., Band 13, 1841, S. 1060–1065
2. ↑ Cauchy, Mémoire sur la rectification des courbes et la quadrature des surfaces courbes, Mém. Acad. Sci., Band 22 (3), 1850
3. ↑ Kubota, Über konvex-geschlossene Mannigfaltigkeiten im n-dimensionalen Raum, Sci. Rep. Tohoku University, Band 14, 1925, S. 85–99
4. ↑ Minkowski, Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs, Gesammelte Abhandlungen, Band 2, S. 131–229
5. ↑ Bonnesen, Les problèmes des isopérimètres et isoepiphanes, 1929
6. ↑ Ein Beweis findet sich zum Beispiel in Gian-Carlo Rota, Daniel Klain: Introduction to geometric probability, Cambridge UP 1997
7. ↑ Tsukerman, Veomett, A simple proof of Cauchy's surface area formula, Arxiv 2016