Satz von Gelfond-Schneider

Der Satz von Gelfond-Schneider (englisch Gelfond-Schneider theorem) ist ein bedeutender Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Mithilfe dieses Satzes konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden.

Der Satz wurde im Jahre 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon und nur wenig später von Theodor Schneider gefunden und bewiesen. Der Satz liefert die Lösung des siebten Hilbertschen Problems.

↑ Der Satz von Gelfond-Schneider ist, wie es Fridtjof Toenniessen in seiner Monographie von 2019 sagt (op.cit., S. 418), eine wahre Sternstunde der Mathematik. Aber trotz seiner Bedeutung können selbst mit ihm (und den zugehörigen Sätzen) viele Fragen zur Transzendenz auch heute noch nicht beantwortet werden.
↑ Völlig ungeklärt ist insbesondere die Frage nach der Transzendenz der Euler-Mascheroni-Konstante. Es ist nicht einmal bekannt, ob diese Konstante überhaupt eine irrationale Zahl ist. (Toenniessen, op.cit., S. 426)
↑ Ähnlich unklar ist die Situation bei den Funktionswerten $\zeta (n)$ der riemannschen Zetafunktion für die ungeraden natürlichen Zahlen $n=5,7,9,\ldots$ . Auch über diese Zahlen kann man hinsichtlich Transzendenz beziehungsweise Irrationalität nichts sagen. (Toenniessen, op.cit., S. 427)

[1] Der Satz von Gelfond-Schneider ist, wie es Fridtjof Toenniessen in seiner Monographie von 2019 sagt (op.cit., S. 418), eine wahre Sternstunde der Mathematik. Aber trotz seiner Bedeutung können selbst mit ihm (und den zugehörigen Sätzen) viele Fragen zur Transzendenz auch heute noch nicht beantwortet werden.

[2] Völlig ungeklärt ist insbesondere die Frage nach der Transzendenz der Euler-Mascheroni-Konstante. Es ist nicht einmal bekannt, ob diese Konstante überhaupt eine irrationale Zahl ist. (Toenniessen, op.cit., S. 426)

[3] Ähnlich unklar ist die Situation bei den Funktionswerten $\zeta (n)$ der riemannschen Zetafunktion für die ungeraden natürlichen Zahlen $n=5,7,9,\ldots$ . Auch über diese Zahlen kann man hinsichtlich Transzendenz beziehungsweise Irrationalität nichts sagen. (Toenniessen, op.cit., S. 427)